Закон киргофа: 1 и 2 законы, определение и формула

Закон Кирхгофа своими словами, кратко и понятно для чайников

История возникновения закона начинается с первого упоминания немецкого учёного Кирхгофа в XIX веке. В этот период в стране проходили репрессии, остро ощущалась нехватка новых технологий. Учёные искали решения, способные ускорить развитие промышленности. Вышеупомянутый учёный занимался исследованиями в области электричества. Он точно осознавал, что будущее за технологиями. Однако была проблема: как провести точные математические вычисления в цепях сложной формы. Тогда и возник закон.

К узлу подходят два провода, в то время как отходит всего один. Значение тока, который протекает по направлению от узла, равняется сумме протекающего по оставшимся двум проводникам, иными словами, идущим к нему. Правило, о котором идёт речь в статье, даёт понятное объяснение тому, что в противном случае происходило бы накопление заряда, однако такого никогда не бывает. Каждый физик на практике знает, что любую сложную цепь можно разделить на небольшие участки.

Возникает другая сложность: трудно определить путь, по которому он проходит

Более того, важно понимать, что на различных участках сопротивления разные, а из этого следует, что энергия будет распределяться неравномерно

Второй закон Кирхгофа: определение

Второй закон вызывает у многих вопросы, так как он несколько труднее первого, но этот миф легко можно развеять, объяснив принцип работы. Для начала необходимо разобрать определение закона, который звучит таким образом: в любом замкнутом контуре электрической цепи алгебраическая сумма ЭДС равна алгебраической сумме напряжений на всех пассивных элементах цепи.

Формулировка определения несколько затрудняет его понимание, поэтому можно упростить: сумма ЭДС в замкнутом контуре равняется сумме падений напряжений. Так намного проще и понятнее.

Закон напряжения и формула для магнитной цепи

Формула, которая выражает этот закон, примет такой вид:

Формула второго закон Кирхгофа

В качестве примера возьмём самый элементарный и понятный для всех случай. Нам понадобится взять батарейку и резистор – всё в одном экземпляре. Так как резистор в единичном количестве, так же как и батарейка, то ЭДС батарейки будет равняться 1,5 ватт, и это равно падению напряжения на резисторе.

Если для примера взять уже два резистора и подключить их к батарейке, то 1,5 ватт будут распределяться равномерно на обоих резисторах, то есть на каждом окажется по 0,75 ватт. Если взять уже три резистора по 1 кОм, то падение напряжения будет на них уже по 0,5 ватт. Логика расчётов сохраняется в любом случае. Формула примет вид:

Формула	Е1 = IR1 + IR2 + IR3
Преобразование	1,5 Вт = 0,5 Вт + 0,5 Вт + 0,5 Вт
Итог	1,5 Вт = 1,5 Вт

Закон Кирхгофа своими словами, кратко и понятно для чайников

Возникает другая сложность: трудно определить путь, по которому он проходит

Законы Кирхгофа для магнитной цепи

В электротехнике также важны и расчёты магнитных цепей, оба закона нашли своё применение и здесь. Суть остаётся той же, но вид и величины изменяются, давайте рассмотрим этот вопрос подробнее. Сначала нужно разобраться с понятиями.

Магнитодвижущая сила (МДС) определяется произведением количества витков катушки, на ток через неё:

F=w*I

Магнитное напряжение – это произведение напряженности магнитного поля на ток, через участок, измеряется в Амперах:

U_m=H*I

Или магнитный поток через магнитное сопротивление:

U_m=Ф*R_m

L – средняя длина участка, μ_r и μ – относительная и абсолютная магнитная проницаемость.

Проводя аналогии запишем первый закон Кирхгофа для магнитной цепи:

То есть сумма всех магнитных потоков через узел равна нулю. Вы заметили, что звучит почти так же, как и для электрической цепи?

Тогда второй закон Кирхгофа звучит, как «Сумма МДС в магнитном контуре равна сумме U_M(магнитных напряжений).

Магнитный поток равен:

Для переменного магнитного поля:

Он зависит только от напряжения на обмотке, но не от параметров магнитной цепи.

В качестве примера рассмотрим такой контур:

Тогда для ABCD получится такая формула:

Для контуров с воздушным зазором выполняются следующие соотношения:

Сопротивление магнитопровода:

А сопротивление воздушного зазора (справа на сердечнике):

Где S — это площадь сердечника.

Чтобы полностью усвоить материал и наглядно просмотреть некоторые нюансы использования правил, рекомендуем ознакомиться с лекциями, которые предоставлены на видео:

https://youtube.com/watch?v=LzqkLKOyid8

Открытия Густава Кирхгофа внесли весомый вклад в развитие науки, в особенности электротехники. С их помощью довольно просто рассчитать любой электрический или магнитный контур, токи в нём и напряжения. Надеемся, теперь вам стали более понятны правила Кирхгофа для электрической и магнитной цепи.

2.2.1. Понятие о многофазных системах.

Как
показано на рис. 2.6, три связанные катушки
вращаются в однородном магнитном поле
с угловой скоростью
.
Эти катушки расположены под углами.
В них индуцируются ЭДС е 1 ,е 2 ,е 3 ,
сдвинутые относительно друг друга на
углы
(рис. 2.27). Многофазной системой называется
совокупность нескольких электрических
цепей, в которых действуют ЭДС одной и
той же частоты, отличающиеся друг от
друга по фазе.

Если
имеется m
катушек, то получим m-фазную
систему синусоидального тока.

Наибольшее
распространение получили трёхфазные
(m=3)
симметричные системы, дающие симметричные
ЭДС и токи.

При
симметрии векторов ЭДС:

Суммы
мгновенных значений ЭДС и токов также
равны нулю:

Схема
трёхфазного генератора под нагрузкой
изображена на рис. 2.28.

На
схеме изображены:

А,
В, С – начало фаз источника;

X,
Y,
Z
– концы фаз источника;

а,
в, с – начало фаз приёмника;

x,
y,
z
– концы фаз приёмника.

В
каждой фазе индуцируются ЭДС:

В
символическом виде запишем:

Векторная
диаграмма трёхфазной цепи представлена
на рис. 2.29

Законы Кирхгофа
применяют для анализа и расчета разветвленных сложных электрических цепей постоянного и переменного тока . Они позволяют рассчитать электрические токи во всех ветвях. По найденным токам можно рассчитать падение напряжения, мощность и т.д.

Существует мнение, что «Законы Кирхгофа» нужно называть «Правилами Кирхгофа», т.к. они могут быть выведены из других положений и предположений. Данные правила не являются обобщением большого количества опытных данных. Они являются одной из форм закона сохранения энергии и потому относятся к фундаментальным законам природы.

В некоторых книгах пишут фамилию ученого Густава с буквой Х — Кирхгоф. В некоторых изданиях пишут без буквы х — Киргоф.

Первый закон Кирхгофа

Первый закон Кирхгофа гласит, что в ветвях образующих узел электрической цепи алгебраическая сумма токов равна нулю (токи входящие в узел считаются положительными, выходящие из узла отрицательными).

Пользуясь этим законом для узла A (рисунок 1) можно записать следующее выражение:

Рисунок 1 — Первый закон Кирхгофа

I1 + I2 − I3 + I4 − I5 − I6 = 0.

Попытайтесь самостоятельно применить первый закон Кирхгофа для определения тока в ветви. На приведенной выше схеме изображены шесть ветвей образующие электрический узел В, токи ветвях входят и выходят из узла. Один из токов i неизвестен.

I1 — I2 + I3 − I4 + I5 − i = 0

I1 + I2 + I3 + I4 + I5 − i = 0

I1 + I2 + I3 − I4 + I5 − i = 0

Неправильно

#2. Найдите ток i

i = I1 + I2 + I3 − I4 + I5

i = I1 + I2 — I3 − I4 + I5

i = I1 — I2 — I3 + I4 + I5

Неправильно

Завершить

Результат

Отлично!
Попытайтесь снова(

Выбор направления токов

Если при расчёте цепи направление токов неизвестны, то при составлении уравнений согласно законом Кирхгофа их необходимо предварительно выбрать произвольно и обозначить на схеме стрелками. В действительности направление токов в ветвях могут отличаться от произвольно выбранных. Поэтому выбранные направления токов называют положительными направлениями. Если в результате расчёта цепи какие-либо токи будут выражены отрицательными числами, то действительные направления этих токов обратны выбранным положительным направлениям.

Например

Рисунок 2

На рисунке 2,а представлен электрический узел. Произвольно, стрелками укажем направления токов (рисунок 2,б).

Важно! При выборе направления токов в ветвях, необходимо выполнения двух условий:1. Ток должен вытекать из узла через одну или несколько других ветвей;2

Хотя бы один ток должен входить в узел.

Предположим, что после расчёта цепи получились следующие значения токов:

I1 = -5 А;
I2 = -2 A;
I3 = 3 А.

Так как значение тока I1 и I2 получились отрицательными, следовательно, действительно направление I1 и I2 противоположно ранее выбранным (рисунок 3).

Рисунок 3 — действительное направление токов обозначено синими стрелками

I1 − I2 + I3 = 0;
-5 − (-2) +3 = 0;
-I1 + I2 + I3 = 0;
-5 + 2 +3 = 0.

Второй закон Кирхгофа.

Второй закон Кирхгофа: в контуре электрической цепи алгебраическая сумма эдс равна алгебраической сумме падений напряжения на всех сопротивлениях данного контура.

где k – число источников ЭДС; m – число ветвей в замкнутом контуре; I_i, R_i – ток и сопротивление i-й ветви.

Применение второго закона Кирхгофа

Для контура ABСDE, изображенного на рисунке 4, стрелками указаны положительные направления токов (произвольно). Составим уравнение согласно второму закону Кирхгофа. Для этого произвольно зададимся направлением обхода контура по часовой или против часовой стрелки. В данном примере направление обхода контура выберем по часовой стрелке.

Рисунок 4

При составлении уравнений по второму закону Кирхгофа, ЭДС записывается со знаком “+”, если ее направление совпадает с направлением произвольно выбранного обхода контура. В противном случае ЭДС записывается со знаком “-”.

Падения напряжения записываются со знаком “+”, если направление тока в нем совпадает с направлением обхода.

Начнём с эдс E1, так как её направление совпадает с обходом контура — записываем её со знаком “+” перед знаком равно.

Контур ABСDE E1 =

E2 направленна против обхода контура записываем со знаком “-” перед знаком равно.

Контур ABСDE E1 − E2 =

Так как больше ЭДС в контуре ABСDЕ нет — левая часть уравнения готова.

В правой части уравнения указываются падения напряжения контура, так как направления токов I1 и I2 совпадает с обходом контура – записываем падения напряжения со знаком “+”.

Контур ABСDЕE E1 − E2 = I1*R1 + I2*R2

Направление тока I3 не совпадет с обходом контура:

Контур ABСDE E1 − E2 = I1*R1 + I2*R2 − I3*R3.

Уравнение для контура готово.

Законы Кирхгофа являются основой для расчета электрической цепи, вот несколько методов применяющие данные законы.

2.1.9. Мощность цепи переменного тока.

Мгновенная
мощность электрической цепи определяется
как:

где
— ток и мгновенные напряжения на зажимах
цепи.

Среднее
значение активной мощности за период
переменного тока:

где
Т

– период переменного тока;

Это
выражение мощности справедливо для
любых периодических функций напряжения
и тока.

Определим
Р для синусоидальных напряжений и токов:

так
как

то
среднее значение функции за период
равно:

Где
– коэффициент мощности.

Отсюда
следует, что средняя мощность за период
зависит от
и не равна нулю, если участок цепи имеет
активное сопротивление. Активная
мощность Р имеет необратимый характер
в цепи, так как превращается в тепло на
резисторе.

Определим
коэффициент мощности и его
народнохозяйственное значение. Из
выражения для Р определим ток:

При
P
=
const

(т.е.потребляемая мощность постоянна)
и при уменьшении cos
потребляемый ток I
будет увеличиваться при одной и той же
отдаваемой мощности. Например, при
cos=0,5
мощность, передаваемая потребителям,
составляет 50% от той, которая передавалась
бы при cos=1.

Нормальный
коэффициент мощности изменяется от
0,85 до 0,9.

Для
повышения нормального коэффициента
мощности:

– догружаются
двигатели переменного тока до номинальной
мощности(или заменяются на двигатели
мощности, если те недогружены);

– применяют
синхронные двигатели (при большом
возбуждении они вызывают в сети
опережающий ток);

– включаются
параллельно приёмникам конденсаторы.

Реактивная
мощность имеет обратимый характер, т.к
в течение четверти периода она
накапливается в магнитном поле катушки
или электрическом поле конденсатора,
а затем расходуется:

для
индуктивного элемента:

для
ёмкостного элемента:

например,
для цепи с последовательным соединением
С и L:.

Полная
мощность цепи – это максимально возможная
мощность заданных значений напряжения
U
и тока I.

Максимальная
мощность получается при

Через
активную и реактивную мощность она
выражается как:

Угол
сдвига фаз через активную и реактивную
мощность выражается как:

Построим
треугольник мощностей (рис. 2.25).

Мощность
в комплексной форме:

где
– комплексное значение напряжения;

–сопряженное
комплексное значение тока.

Применение

Закон Кирхгофа для теплового излучения

Данный закон имеет другое название «третий закон». Сперва для лучшего понимания введем понятие теплового излучения. Принято называть тепловым излучение электромагнитное излучение, возникающее благодаря чужеродной энергии вращательного и колебательного движения атомов, молекул. Данное явление можно обнаружить абсолютно у всех тел, имеющих температуру не равняющуюся нулю или меньше. Основной количественной характеристикой теплового излучения выступает энергетическая светимость. Она должна быть вычислена одной из первых или же указана в условиях. Рассчитать её самостоятельно весьма проблематично. Её значение не постоянное, оно может меняться в зависимости от определенных характеристик: оказывает влияние температура окружающей среды, а также уровень нагретости тела. Имеет значение и длина, чем длиннее — тем значение меньше.

Формула выглядит таким образом:

R = E/(S·t), [Дж/(м2с)] = [Вт/м2]

Ещё одной характеристикой остаётся спектральная плотность энергетической светимости.

Важно ввести ещё одно понятие: коэффициент поглощения – это отношение поглощенной телом энергии к падающей энергии. Только теперь перейдем непосредственно к выделенному закону

Первое, что нужно сказать, что тепловое излучение является равновесной величиной. Это указывает на то, что сколько энергии будет излучаться телом, столько и им же и поглотится. При расчётах данное заявление имеет существенное значение. Можно сразу приравнивать оба значение. Таким образом, для трёх тел, которые находятся в замкнутой полости, формула примет вид:

Закон для теплового излучения

Раннее указанная формула будет верной даже тогда, когда какое-либо тело из указанных будет АЧ:

Закон звучит данным образом: отношение спектральной плотности энергетической светимости тела к его монохроматическому коэффициенту поглощения (при определенной температуре и для определенной длины волны) не зависит от природы тела и равно для всех тел спектральной плотности энергетической светимости при тех же самых температуре и длине волны.

Второй закон Кирхгофа: определение

Закон напряжения и формула для магнитной цепи

Формула, которая выражает этот закон, примет такой вид:

Формула второго закон Кирхгофа

Формула	Е₁= IR₁ + IR₂ + IR₃
Преобразование	1,5 Вт = 0,5 Вт + 0,5 Вт + 0,5 Вт
Итог	1,5 Вт = 1,5 Вт

Пример

На этом рисунке для каждой ветви обозначен протекающий по ней ток (буквой «I») и напряжение между соединяемыми ею узлами (буквой «U»)

Количество узлов: 3.

p−1=2{\displaystyle p-1=2}

Количество ветвей (в замкнутых контурах): 4. Количество ветвей, содержащих источник тока: 0.

m−mi−(p−1)=2{\displaystyle m-m_{i}-(p-1)=2}

Количество контуров: 2.

Для приведённой на рисунке цепи, в соответствии с первым правилом, выполняются следующие соотношения:

{I1−I2−I6=I2−I4−I3={\displaystyle {\begin{cases}I_{1}-I_{2}-I_{6}=0\\I_{2}-I_{4}-I_{3}=0\end{cases}}}

Обратите внимание, что для каждого узла должно быть выбрано положительное направление, например, здесь токи, втекающие в узел, считаются положительными, а вытекающие — отрицательными.

Решение полученной линейной системы алгебраических уравнений позволяет определить все токи узлов и ветвей, такой подход к анализу цепи принято называть методом контурных токов.

В соответствии со вторым правилом, справедливы соотношения:

{U2+U4−U6=U3+U5−U4={\displaystyle {\begin{cases}U_{2}+U_{4}-U_{6}=0\\U_{3}+U_{5}-U_{4}=0\end{cases}}}

Полученные системы уравнений полностью описывают анализируемую цепь, и их решения определяют все токи и все напряжения ветвей. Такой подход к анализу цепи принято называть методом узловых потенциалов.

Законы Кирхгофа для магнитной цепи

Магнитодвижущая сила (МДС) определяется произведением количества витков катушки, на ток через неё:

F=w*I

U_m=H*I

Или магнитный поток через магнитное сопротивление:

U_m=Ф*R_m

L – средняя длина участка, μ_r и μ – относительная и абсолютная магнитная проницаемость.

Проводя аналогии запишем первый закон Кирхгофа для магнитной цепи:

Тогда второй закон Кирхгофа звучит, как «Сумма МДС в магнитном контуре равна сумме U_M(магнитных напряжений).

Магнитный поток равен:

Для переменного магнитного поля:

Он зависит только от напряжения на обмотке, но не от параметров магнитной цепи.

В качестве примера рассмотрим такой контур:

Тогда для ABCD получится такая формула:

Для контуров с воздушным зазором выполняются следующие соотношения:

Сопротивление магнитопровода:

А сопротивление воздушного зазора (справа на сердечнике):

Где S — это площадь сердечника.

https://youtube.com/watch?v=LzqkLKOyid8

История

Пополнил ряды немецких ученых Кирхгоф в девятнадцатом столетии, когда в стране, находившаяся на пороге революции индустриальной, требовались новейших технологии. Ученые занимались поиском решений, которые могли бы ускорить развитие промышленности.

Активно занимались исследованиями в области электричества, поскольку понимали, что в будущем оно будет широко использоваться. Проблема состояла на тот момент не в том, как составлять электрические цепи из возможных элементов, а в проведении математических вычислений. Тут и появились законы, сформулированные физиком. Они очень помогли.

К узлу подходят 2 провода, а отходит один. Значение тока, текущего от узла, такое же, как сумма его, протекающего по двум остальным проводникам, т.е. идущим к нему. Правило Кирхгофа объясняет, что, при ином раскладе, накапливался бы заряд, но такого не бывает. Все знают, что всякую сложную цепь легко разделить на отдельные участки.

Но, при этом непросто определить путь, по которому он проходит. Тем более, что на различных участках сопротивления не одинаковы, поэтому и распределение энергии не будет равномерным.

В соответствие со Вторым правилом Кирхгофа, энергия электронов на каждом из замкнутых участков электрической цепи равняется нулю – нулю равняется всегда в таком контуре суммарное значение напряжений. Если бы нарушилось данное правило, энергия электронов при прохождении определенных участков, уменьшалась бы или увеличивалась. Но, этого не наблюдается.

Второе правило Киргхофа

Из третьего уравнения Максвелла вытекает правило Кирхгофа для напряжений. Его ещё называют вторым законом.

При этом токи и ЭДС, векторы которых совпадают с направлением (выбирается произвольно) обхода контура, считаются положительными, а встречные к обходу токи – отрицательными.

Рис. 4. Иллюстрация второго правила Кирхгофа

Формулы, которые изображены на рисунке применяются в частных случаях для вычисления параметров простых схем.

Формулировки уравнений общего характера:

, где где Lk и Ck – это индуктивности и ёмкости, соответственно.

Линейные уравнения справедливы как для линейных, так и для нелинейных линеаризованных цепей. Они применяются при любом характере временных изменений токов и напряжений, для разных источников ЭДС. При этом законы Кирхгофа справедливы и для магнитных цепей. Это позволяет выполнять вычисления для поиска соответствующие параметров.

Расчет цепи

Проще говоря, количество ветвей совпадать должно с неизвестными величинами в системе. Вначале записывают их, исходя из первого правила: число их идентично с количеством узлов.

Но, независимыми будут (y – 1) выражений. Обеспечивается это выбором, а происходит он так, чтобы разнились они (последующий со смежными) минимум одной ветвью.

Далее, составляются уравнения с использованием второго закона: b — (y — 1) = b — y +1.

Независимым считают контур, содержащий одну (или больше) ветвь, которая в другие не входит.

В качестве примера можно рассмотреть такую схему:

Сдержит она:

узлов – 4;

ветвей –6.

По Первому закону записывают три выражения, т.е. y — 1 = 4 – 1=3.

И столько же на основании Второго, поскольку b — y + 1 = 6 — 4 + 1 = 3.

В ветвях выбирают плюсовое направление и путь обхода (у нас — по стрелке часовой).

Получается:

Осталось относительно токов решить получившуюся систему, понимая, что, когда в процессе решения он получается отрицательным, это свидетельствует о том, что направлен он будет в противоположную сторону.

Законы Кирхгофа в комплексной форме

Итак, для того, чтобы вывести математическую формулировку первого закона в комплексной формуле, необходимо представить все синусоидальные токи в комплексных значениях. Формула примет данный вид:

Комплексная форма первого закона Кирхгофа

Расшифровывая формулу получим, что алгебраическая сумма комплексных значений токов всех ветвей, которые сходятся в узле цепи, будет равняться нулю.

Закон №2 сформулирован не менее просто. Для контура замещения, который содержит лишь неактивные элементы и источники ЭДС, в каждую секунду алгебраическая сумма напряжений на данных элементах контура равняется числовой сумме ЭДС. Некоторым может показаться данная формулировка трудной, но при реальном разборе станет ясно, что все весьма просто и элементарно:

Комплексная форма второго закона Кирхгофа

Например, рассмотрим рисунок. Для выбранного на схеме замещения контура 1

u1-u2-u3+u4=0

Для второго контура:

ur-uL=e1-e2

В комплексной записи закон выглядит таким образом:

Контур 1

Контур 2

Особенности составления уравнений для расчёта токов и напряжений

Если цепь содержит p{\displaystyle p} узлов, то она описывается p−1{\displaystyle p-1} уравнениями токов. Это правило может применяться и для других физических явлений (к примеру, система трубопроводов жидкости или газа с насосами), где выполняется закон сохранения частиц среды и потока этих частиц.

Если цепь содержит m{\displaystyle m} ветвей, из которых содержат источники тока ветви в количестве mi{\displaystyle m_{i}}, то она описывается m−mi−(p−1){\displaystyle m-m_{i}-(p-1)} уравнениями напряжений.

Правила Кирхгофа, записанные для p−1{\displaystyle p-1} узлов или m−(p−1){\displaystyle m-(p-1)} контуров цепи, дают полную систему линейных уравнений, которая позволяет найти все токи и все напряжения.
Перед тем, как составить уравнения, нужно произвольно выбрать:
- положительные направления токов в ветвях и обозначить их на схеме, при этом не обязательно следить, чтобы в узле направления токов были и втекающими, и вытекающими, окончательное решение системы уравнений всё равно даст правильные знаки токов узла;
- положительные направления обхода контуров для составления уравнений по второму закону, с целью единообразия рекомендуется для всех контуров положительные направления обхода выбирать одинаковыми (напр.: по часовой стрелке).
Если направление тока совпадает с направлением обхода контура (которое выбирается произвольно), падение напряжения считается положительным, в противном случае — отрицательным.
При записи линейно независимых уравнений по второму правилу Кирхгофа стремятся, чтобы в каждый новый контур, для которого составляют уравнение, входила хотя бы одна новая ветвь, не вошедшая в предыдущие контуры, для которых уже записаны уравнения по второму закону (достаточное, но не необходимое условие).
В сложных непланарных графах электрических цепей человеку трудно увидеть независимые контуры и узлы, каждый независимый контур (узел) при составлении системы уравнений порождает ещё 1 линейное уравнение в определяющей задачу системе линейных уравнений. Подсчёт количества независимых контуров и их явное указание в конкретном графе развит в теории графов.